Примеры симметрии геометрических фигур
Занятие элективного курса по теме "Этот удивительный мир симметрии"
Цель: показать, что весь мир симметричен, что симметрия является общепризнанным критерием красоты, как в науке, так и в искусстве.
План:
- Господство симметрии в живой и не живой природе. Формы, виды симметрии.
- Инвариантность, однородность и изотропность симметрии.
- Эстетическая ценность симметрии.
а) симметрия в живописи.
б) симметрия в архитектуре. - Решение задач методом симметрии.
- Творческие работы учащихся по симметрии.
«Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство». Г. Вейль.
«Раз, стоя перед черной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражен мыслью: почему симметрия приятна для глаз? Что такое симметрия? Это врожденное чувство, отвечал я сам себе. На чем же оно основано? Разве во всем в жизни симметрия?» (Л.Н. Толстой, «Отрочество»)
Вместе с Николенькой Иртеньевым из трилогии Льва Толстого задумаемся и мы над тем, почему в природе царит симметрия. Почему симметрично все живое от микроорганизмов до человека. Почему симметричное часто ассоциируется с прекрасным.
На первые два вопроса ответ существует: господство симметрии в природе, прежде всего объясняется силой тяготения, действующей во Вселенной.
Действием тяготения или отсутствием такого объясняется то, что и космические тела, плывущие Во Вселенной, микроорганизмы, взвешенные в воде, обладают высшей формой симметрии – сферической (при любом повороте относительно центра фигура совпадает сама с собой).
Все организмы, растущие в прикрепленном состоянии (деревья) или живущие на дне океана (морские звезды), т.е. организмы, для которых направление силы тяжести является решающим, имеют ось симметрии(множество всевозможных поворотов вокруг центра сужается до множества всех поворотов вокруг вертикальной оси.
Наконец, для животных, способных передвигаться в воде, воздухе или по земле, кроме направления илы тяжести, важным оказывается и направление движения животного. Такие животные могут обладать только плоскостью симметрии, которая определяется векторами силы тяжести и направления движения.
Биологи эту плоскость симметрии называют билатеральной, а тип симметрии — зеркальным.
Ясно, что в случае асимметричного развития животного поворот в одну из сторон был бы для него затруднен и естественным для животного стало бы не прямолинейное, а круговое движение. Хождение по кругу рано или поздно закончится трагически для животного
Опыты с зеркалами: калейдоскоп.
Помните ли вы волшебные картинки в калейдоскопе, которые менялись от малейшего поворота? Они получены путём отражения в нескольких зеркалах мелких кусочков разноцветного стекла. Калейдоскоп позволит нам прикоснуться к удивительному математическому явлению – СИММЕТРИИ.
1. Сделаем свой калейдоскоп из двух плоских зеркал, поставленных на плоскость под углом 120° друг к другу.
На плоскости между зеркалами поставим какой-нибудь предмет, в нашем случае это небольшой красный шарик. Мы видим, что он отражается в зеркалах 2 раза.
2. Уменьшим угол между зеркалами до 90°. Теперь шарик отражается 4 раза.
3. Уменьшим до 45° и наблюдаем, что отражений уже 8.
4. Теперь изменим угол между зеркалами до 30°. На этот раз отражений 18.
Во всех четырёх случаях мы наблюдаем явление симметрии. В любом случае в обоих зеркалах шарик отражается симметрично одинаковое количество раз.
Морская звезда — пример живого организма с поворотной симметрией 5-го порядка. Этот тип симметрии наиболее распространен в живой природе (цветы незабудки, гвоздики, колокольчика, вишни, яблони и т. д.) и принципиально невозможен в кристаллических решетках неживой природы. Симметрию 5-го порядка называют симметрией жизни. Это своеобразный защитный механизм живой природы против кристаллизации, против окаменения, за сохранение живой индивидуальности.
Среди цветов наблюдается поворотная симметрия. Многие цветы можно повернуть так что каждый лепесток займет положение соседнего, цветок совместится с самим с собой. Минимальный угол такого поворота для различных цветов не одинаков. Для ириса он равен 120° ,для колокольчика 72°, для нарцисса 60°.
Билатеральной симметрией обладает, например, автомобиль, одинаково хорошо поворачивающий и в право и влево, чего нельзя сказать о мотоцикле с коляской, который такой симметрией не обладает и постепенно вытесняется автомобилем и своим двухколесным (зеркально — симметричным) собратом.
Примеры симметрии в технике
Симметрия господствует на Земле благодаря силе тяготения. Более того, поскольку эта сила действует повсюду во Вселенной, то и предполагаемые космические пришельцы не могут быть безудержно чудовищными, как их порой изображают, а обязательно должны быть симметричными.
Таким образом, мы подошли к самому трудному вопросу: «почему симметрия приятна для глаз?» В чем тайна прекрасного, которая делает красоту предметом поклонения
Струи наклонно бьющих фонтанов привлекают правильностью и красотой своих линий. Хотя отнюдь не каждый знает, что это параболы, и тем белее не в состоянии написать их уравнения. Красота часто понятна интуитивно, без предварительной подготовки
«Изучение археологических памятников показывает, что человечество на заре своей культуры уже имело представление о симметрии осуществляло ее в рисунке и в предметах быта. Надо полагать, что применение симметрии в первобытном производстве определялось не только эстетическими мотивами, но в известной мере и уверенностью человека в большей пригодности для практики правильных форм».
Это слова нашего соотечественника, академика Шубникова А.В. (1887-1970) посвятившего изучению симметрии всю свою долгую жизнь.
Инвариантность, однородность и изотропность симметрии.
Первоначальное понятие о геометрической симметрии как о гармонии пропорций, как о «соразмерности», что и означает в переводе с греческого слова «симметрия», стечением времени приобрело универсальный характер и было осознано как всеобщая идея инвариантности (т.е. неизменности) относительно некоторых преобразований.
Таким образом, геометрический объект или физическое явление считается симметричным, если с ним можно сделать что-то такое, после чего они остаются неизменными.
Например, пятиконечная звезда, будучи повернута на 72°, займет первоначальное положение, а ваш будильник одинаково звучит в любом углу комнаты, так как звук передается с помощью звуковых волн, обладающих симметрией.
Первый пример дает понятие об одном из видов геометрической симметрии – поворотной, а второй иллюстрирует важную физическую симметрию – однородность и изотропность (равнозначность всех направлений) пространства. Благодаря последней симметрии все физические приборы (в том числе и будильник) одинаково работают в разных точках пространства.
Таким образом, не только симметричные формы окружают нас повсюду, но и сами многообразные физические и биологические законы гравитации, электричества,магнетизма, ядерных взаимодействий, наследственности пронизаны общим для всех них принципом симметрии
Атомы твердых тел расположены очень плотно и симметрично.
Структурная формула бензола С6Н6 привлекает своей красотой, в основе формулы лежит правильный шестиугольник, обладающий многими видами симметрии.
«Принцип симметрии в XX веке охватывает все новые области. Из области кристаллографии, физики твердого тела он вошел в область химии, в область молекулярных процессов и в физику атома. Нет сомнения, что его проявления мы найдем в еще более далеком от окружающих нас комплексов мире электрона и ему подчинены будут явления квантов». В.И. Вернадский
«Новым в науке явилось не выявления принципа симметрии, а выявление его всеобщности», — писал академик В.И.Вернадский
Действительно, еще Платон мыслил атомы четырех стихий — земли, воды, огня и воздуха – геометрически симметричными в виде правильных многогранников.
И хотя сегодня «атомная физика» Платона кажется наивной, принцип симметрии через два тысячелетия остается основополагающим принципом современной физики атома. За это время наука прошла путь от осознания симметрии геометрических тел к пониманию симметрии физический явлений.
Биология.
Так же мы можем рассмотреть симметрию в структуре строения молекулы ДНК:
В хромосомах, даже в размножении эвглены зеленой.
Размножаясь, она делится на абсолютно симметричные друг другу части.
Эстетическая ценность симметрии
Почти все кристаллы, встречающие в природе, имеют центр, ось или плоскость симметрии.
Господство симметрии в природе, объясняется прежде всего эстетическая ценность симметрии для человека. С детства человек привык к билатерально симметричным родителям, затем у него появляются билатерально симметричные друзья ; он видит зеркальную симметрию в бабочках, птицах, рыбах, животных, поворотную в стройных елях и волшебных узорах снежинок, переносную – в оградах парков, решетках мостов, лестничных маршах, бордюрах, которые издревле были любимым декоративным элементом зеркальной симметрии.
Поворотная симметрия
Винтовая симметрия
В расположении листьев на стеблях растений наблюдается винтовая симметрия.
Располагаясь винтом по стеблю, листья как бы раскидываются в разные стороны и не заслоняют друг друга от света
Переносная симметрия
Человек привык видеть в природе вертикальные оси и плоскости симметрии, и вертикальные симметрии воспринимаются нами гораздо охотнее. Мы нигде не увидим обои с горизонтальными осями симметрии, ибо это вызвало бы неприятный контраст с вертикальной симметрией растущих из окна деревьев.
Единственная горизонтальная симметрия,которую мы встречаем в природе, — отражение в зеркале воды. Возможность, в необычности такой симметрии и заключается ее завораживающая сила.
Таким образом, симметрия воспринимается человеком, как проявления закономерности, порядка царящего в природе. Восприятие закономерного всегда доставляет нам удовольствие, сообщает некоторую уверенность и даже бодрость.
Итак, симметрия воспринимаемая человеком как закономерность структуры, как внешнее проявления внутреннего порядка, начинает обладать эстетической ценностью, т.е. воспринимается как красота.
Простой пример нас убеждает в этом.
Чернильная клякса сама по себе некрасива. Но стоит перегнуть лист бумаги с невысохшей кляксой пополам, и мы получим кляксу, которая уже производит приятное впечатление. Зеркальная симметрия новой кляксы, т.е. закономерное расположение ее частей, и определяет красоту нашей «рукотворной « кляксы. Знание законов геометрической симметрии сделает такие поиски быстрыми и плодотворными.
На рисунке изображены узоры, полученные с использованием различных типов геометрической симметрии.
Узор на рисунке б получен с помощью зеркальной симметрии, узоры на рисунке в называется бордюром и представляет собой тип переносной симметрии, когда предыдущая фигура совпадает с последующей при поступательном перемещении вдоль бордюра на постоянный интервал (шаг симметрии). Нижний бордюр имеет более сложный закон построения, чем простая переносная симметрия. Всего существует семь типов бордюров. На рисунке г показаны так называемые «розетки», которые получаются поворотом вокруг вертикальной оси на угол 360° /n (n=2,3,4, …), т.е. обладает симметрией n-го порядка. Верхняя розетка имеет поворотную симметрию 6-го разряда, средняя – 8-го разряда, нижняя же сочетает зеркальную и поворотную симметрию, но в то же время она имеет чисто поворотную симметрию 3-го разряда. На следующем рисунке показаны два орнамента из семнадцати возможных.
Другим важным фактором, составляющим эстетическое содержание симметрии, является ее целесообразность , которая также есть проявления закономерного. Уже первобытные люди понимали, что симметричные орудия более целесообразны, чем не симметричные, таким образом в эпоху неолита симметрия была выделена как наиболее совершенная форма, о чем свидетельствуют многочисленные украшения с симметричными рисунками.
Симметрия в искусстве.
Идея связи прекрасного с симметрией пронизывала всю греческую философию, все греческое искусство. Достаточно вспомнить строго симметричные формы античных архитектурных памятников, изумительную стройность греческих ваз, математическую строгость их орнамента.
Симметрия как объективный признак красоты проходит через всю историю искусств. Она использовалась в архитектуре и скульптуре, симметрия господствует в изобразительном искусстве Древнего Египта, Древней Греции и Рима, средневековья и Возрождения.
Зеркальная симметрия: нагрудное украшение с именем фараона XX до н.э.
Переносная симметрия. Персеполь. Барельеф с
персидскими воинами. Начало 5 века.
Поворотная симметрия 12-го порядка: мозаика купола баптистерия в Равенна.V в.до.н.э. Италия
На следующих примера хорошо просматривается симметрия.
Архитектура и симметрия
Прекрасные образцы симметрии демонстрируют произведения искусства: архитектура, живопись, скульптура и т. п. Элементы симметрии можно увидеть в общих планах зданий.
Скульптура и живопись тоже дают множество ярких примеров использования симметрии для решения эстетических задач.
Триумфальная арка. Москва 1834г. (слева)
Метод симметрии. Свойства симметрии. Решение задач.
Как мы знаем, слово «симметрия» в переводе с греческого означает «одинаковость в расположении плоскостей». В таком широком понимании симметрия не имеет математического содержания. Математики вкладывают в это понятие точный математический смысл, рассматривают некоторые специальные виды симметрии. В результате симметрия становится мощным средством математических исследований, помогает решать трудные задачи. А для того, чтобы освоить «метод симметрии» надо сначала вспомнить основными свойствами симметрии.
- Для любой точки плоскости всегда можно построить симметричную ей точку относительно прямой
- Отрезок, соединяющий симметричные точки, перпендикулярен оси симметрии и делится ею пополам
- Если отрезок MN симметричен отрезку относительно прямой l, то их длины равны.
Из свойств симметрии следует важное свойство плоскости.
— Если А – некоторая точка плоскости,а В точка на прямой, то длина отрезка АВ будет наименьшей, если отрезок АВ перпендикулярен l
Задача: (которая является классической задачей геометрии, входит в ее золотой фонд)Дана прямая l и точки А и В по одну сторону от нее. Найдем на прямой точку М, чтобы путь из А в В через М был кратчайшим, т.е. длина ломанной АМВ была бы наименьшей.
Построим точку А1,симметричную точке А относительно прямой l. Проведем прямую А1В. Тогда точка пересечения А1В и l будет нужной нам точкой.
Задача 2. Ученик нарисовал на доске окружность, отметил на ней точки А,В,С и стер ее, оставив лишь эти точки. Как восстановить окружность?
Точки В и С симметричны относительно диаметра, проходящего через середину отрезка ВС и перпендикулярны ему. Аналогично и точки А и В. Таким образом, построив, перпендикулярные прямые через середины к отрезкам АВ и ВС, мы получим точку их пересечения, Это центр окружности, так как через не проходит оба диаметра.
Задача 3. На плоскости дан острый угол и точка внутри него. Найти на сторонах угла две точки М и N так, чтобы длина замкнутого пути АМNА (АМ +MN + NА) была наименьшей.
Надо построить точки А1 иА2, симметричные точке А относительно сторон угла.. Прямая А1А21 пересечет стороны угла в искомых точках М иN.
Задача 4. На рисунке изображена сеть правильных треугольников. Не выполняя никаких построений, укажите:
а) точки, симметричные точкам В4,В5, D3 относительно прямой А4D2.
б) образ отрезка В2С2 в результате последовательного отражения его от осей В3D2 и В1В5.
Задача 5. Выберите из данного множества точек: (1;5), (3;-2), (-1;5), (0;-7), (5;-1), (0;7), (-2;3), (4;0), (0;4), (2;1), (1,-10) точки попарно симметричные относительно оси Ох, оси Оу, биссектрисы I и III координатных углов.
Источник
Симметрия вокруг нас
«Стоя перед чёрной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражён мыслью: почему симметрия приятна глазу? Это врожденное чувство, отвечал я сам себе».
Многие люди даже не задумываются, проходя мимо обычных, на первый взгляд, вещей о том, какой удивительной формой эти объекты обладают и с какой точностью они созданы природой или человеком. Симметрия окружает нас, находя своё проявление, как в живой, так и в неживой природе.
Термин «симметрия» в переводе с греческого означает соразмерность, пропорциональность, гармония. Как предполагают, ввел в обиход данный термин Пифагор (VI в. до н. э.), обозначив им пространственную закономерность в расположении одинаковых фигур или их частей. Он же определил отклонение от симметрии как асимметрию.
Для симметричной организации композиции характерна уравновешенность её частей по массам, по тону, цвету и даже по форме. В таких случаях одна часть почти зеркально похожа на вторую. В симметричных композициях чаще всего имеется ярко выраженный центр. Как правило, он совпадает с геометрическим центром картинной плоскости.
Симметрия пронизывает наш мир гораздо глубже, нежели это можно увидеть глазами. Осмысливание этого факта происходило в течение многих веков. В результате само понятие симметрии претерпело существенную эволюцию. От тех времен до наших дней понятие «симметрия» прошло длинный путь развития. Из чисто геометрического понятия оно превратилось в фундаментальное понятие, лежащее в основе законов природы. Мы знаем теперь, что симметрия – это не только то, что можно видеть глазами. Симметрия не просто вокруг нас, она сама в основе всего. С самой общей точки зрения, понятие симметрии связано с инвариантностью по отношению к каким-либо преобразованиям. Инвариантность может быть чисто геометрической (сохранение геометрической формы), но может и не иметь отношения к геометрии, например сохранение энергии или биологических свойств. Точно так же преобразования могут иметь геометрический характер (повороты, переносы, перестановки), а могут и не иметь его (замена частиц античастицами, переход от одного поколения к другому).
Чтобы иметь более точное представление о том, что же такое симметрия, нужно рассмотреть её три основных вида: зеркальная симметрия; центральная симметрия; переносная симметрия.
Рассмотрим поподробнее каждый вид. Начнём с зеркальной симметрии. Иногда данный вид ещё называют плоскостная симметрия. Одна половинка симметричного объекта является зеркальным отражением другой половинки. Если поставить зеркальце вдоль прочерченной ровно посередине рисунка прямой, то отражённая в зеркале половинка фигуры дополнит её до целой. Поэтому такая симметрия и называется зеркальной, а прямая, вдоль которой поставлено зеркало, называется осью симметрии. В простейшем случае, если плоскую фигуру имеющую ось симметрии загнуть вдоль оси, то обе её части совпадут.
Следующий вид, который мы рассмотрим – центральная симметрия. Её ещё называют – поворотная симметрия. Данный вид симметрии характеризуется наличием центра симметрии – неподвижной точки (назовём эту точку «О»). Эта точка обладает определённым свойством, заключающемся в том, что при повороте на 180 градусов центрально симметричная фигура переходит сама в себя. Яркими примерами центрально симметричных фигур могут быть снежинки.
Последний вид симметрии – переносная или по-другому трансляционная. Это параллельный перенос вдоль прямой. Данный вид симметрии характерен для архитектуры или искусства. В природе же такая симметрия встречается редко и чаще всего не обладает 100% точностью.
Симметрия в природе – это мир вокруг нас. Наука, изучающая её, называется биосимметрией. Симметрией обладают объекты и явления живой природы. Она позволяет живым организмам лучше приспособиться к среде обитания, защитить себя от недоброжелателей и просто выжить.
Для начала давайте рассмотрим, какие виды симметрии встречаются в растительном мире. Например, для листьев характерна зеркальная симметрия. Многие листья деревьев и лепестки цветов симметричны относительно среднего стебля.
Центральную симметрию можно наблюдать у следующих цветов: лук, цветок одуванчика, цветок кувшинки, цветок мать и мачехи. Цветок ромашки обладает центральной симметрией, только в случае четного количества лепестков. Её сердцевина представляет собой окружность, и поэтому центрально симметрична, так как мы знаем, что окружность имеет центр симметрии. Нередки случаи и переносной симметрии в растительном мире, например: веточки акации, рябины и многие другие.
Симметрия – базовое свойство большинства живых существ. Быть симметричным очень удобно. Подумайте сами: если у вас совсех сторон есть глаза, уши, носы, рты и конечности, то вы успеете вовремя почувствовать что-то подозрительное, с какой бы стороны оно ни подкрадывалось, и, в зависимости от того, какое оно, это подозрительное, — съесть его или, наоборот, от него удрать. Симметрия в животном мире определяется в соответствие размеров, форм и очертаний, а также относительное расположение частей тела, находящихся на противоположных сторонах разделяющей линии. Ярким примерами симметрии у животных можно считать бабочку, жука плавунца, морскую звезду, лягушку.
Можно сказать, что каждое животное (насекомое, рыба, птица) состоит из двух энантиоморфов – правой и левой половин. Энантиоморфами являются также парные детали, одна из которых попадает в правую, а другая в левую половину тела животного. Так, энантиоморфами являются правое и левое ухо, правый и левый глаз Примером могут являться оленьи рога. Симметрия в животном мире диктуется условиями жизни. Это хорошо видно на примере рыбы камбалы. У камбалы, как и у других рыб, имеется вертикальная плоскость симметрии. Взрослая камбала лежит на дне. Ее глаза, рот, плавники переползают на одну сторону, и ее плоскость симметрии поворачивается на 90º. Камбала приобретает симметрию тела вращения, т.е. поворотную центральную симметрию.Примером симметрии можно считать и паутину. Пауки создают совершенные круговые сети. Сеть паутины состоит из равно отдаленных радиальных уровней, которые распространяются из центра по спирали, переплетаясь друг с другом с максимальной прочностью. Также симметрию в животном мире можно встретить, глядя на лебедя, плывущего по воде. На воде появляется его зеркальное отражение, что придаёт чувство покоя и уравновешенности.
С симметрией мы часто встречаемся в искусстве, архитектуре, технике, быту. Так фасады многих зданий обладают осевой симметрией. В большинстве случаев симметричны относительно оси или центра узоры на коврах, тканях, комнатных обоях. Теперь более подробно о симметрии в архитектуре. Архитектурные сооружения, созданные человеком, в большей своей части симметричны. Они приятны для глаза, их люди считают красивыми. С чем это связано? Здесь можно высказать только предположения.
Во-первых, все мы с вами живем в симметричном мире, который обусловлен условиями жизни на планете Земля, прежде всего существующей здесь гравитацией. И, скорее всего, подсознательно человек понимает, что симметрия это форма устойчивости, а значит существования на нашей планете. Поэтому в рукотворных вещах он интуитивно стремится к симметрии. Золотым веком симметрии в скульптуре и архитектуре была античность. Греко-римская любовь к пропорциям, как высшим ценностям вознесли симметрию на самую высшую точку в скульптуре того времени. Великолепные храмы того времени были переполнены симметрии, но спустя несколько веков, она всё чаще и чаще стала исчезать из архитектуры. Строители храмов, упраздняя симметрию, боролись даже с замыслом архитекторов, заменяя положенные шесть колон – пятью, четыре – тремя. Здания симметричной формы характеризуют собой строгость, вызывает чувство организованности и скованности. Яркими примерами в архитектуре являются: Казанский собор в Санкт-Петербурге (выполнен в стиле классицизма); Кафедральный собор Дуомо в Милане (выполнен в стиле готики), обладает зеркальной-осевой симметрией; Собор Святого Петра в Риме; дворец Лувр; ну и, конечно же, Нотр-Дам-Де-Пари и Эйфелева Башня.
Таким образом, нам удалось познакомиться с понятием симметрии. Объяснение законов симметрии важно для понимания красоты, гармонии, жизни.Принципы симметрии играют важную роль в физике и математике, химии и биологии, технике и архитектуре, живописи и скульптуре, поэзии и музыке. Законы природы, управляющие неисчерпаемой в своем многообразии картиной явлений, в свою очередь также подчиняются принципам симметрии.
Источник
Wonder Wild World
«Симметрия – символ красоты, гармонии и совершенства»
Г армония — греческое слово, обозначающее «согласованность, соразмерность, единство частей и целого». Внешне гармония может проявляться в мелодии, ритме, симметрии и пропорциональности.
Во всем царит гармонии закон, И в мире всё суть ритм, аккорд и тон. Дж. Драйден
Внимательно приглядевшись к природе, можно увидеть общее даже в самых незначительных вещах и деталях, найти проявления симметрии. Форма листа дерева не является случайной: она строго закономерна. Листок как бы склеен из двух более или менее одинаковых половинок, одна из которых расположена зеркально относительно другой. Симметрия листка упорно повторяется, будь то гусеница, бабочка, жучок и т.п.
Простейший вид симметрии зеркальная (осевая), возникающая при вращении фигуры вокруг оси симметрии.
В природе зеркальная симметрия характерна для растений и животных, которые произрастают или двигаются параллельно поверхности Земли. Например, крылья и туловище бабочки можно назвать эталоном зеркальной симметрии.
 |
| Симметрия, возникающая при вращении фигуры вокруг центра вращения, называется центральной. |
Также существует винтовая симметрия.
Трансляцию можно комбинировать с отражением или поворотом, при этом возникают новые операции симметрии.
Поворот на определенное число градусов, сопровождаемый трансляцией на расстояние вдоль оси поворота, порождает винтовую симметрию — симметрию винтовой лестницы.
Пример винтовой симметрии – расположение листьев на стебле многих растений.
Если рассматривать расположение листьев на ветке дерева мы заметим, что лист отстоит от другого, но и повернут вокруг оси ствола.
Листья располагаются на стволе по винтовой линии, чтобы не заслонять друг от друга солнечный свет. Головка подсолнечника имеет отростки, расположенные по геометрическим спиралям, раскручивающимся от центра наружу. Самые молодые члены спирали находятся в центре. В таких системах можно заметить два семейства спиралей, раскручивающихся в противоположные стороны и пересекающихся под углами, близкими к прямым.
Но какими бы интересными и привлекательными ни были проявления симметрии в мире растений, там еще много тайн, управляющих процессами развития. Вслед за Гете, который говорил о стремлении природы к спирали, можно предположить, что движение это осуществляется по логарифмической спирали, начиная всякий раз с центральной, неподвижной точки и сочетая поступательное движение (растяжение) с поворотом вращения.
Этому всеобщему закону из двух постулатов подчиняются не только цветы, животные, легкоподвижные жидкости и газы, но и твердые, неподатливые камни. Этот закон влияет на изменчивые формы облаков. В безветренный день они имеют куполовидную форму с более или менее ясно выраженной радиально-лучевой симметрией. Влияние универсального закона симметрии является по сути дела чисто внешним, грубым, налагающим свою печать только на наружную форму природных тел. Внутреннее их строение и детали ускользают из-под его власти.
Источник
ВИДЫ СИММЕТРИИ
Одна точка называются симметричной другой относительно прямой, если данная прямая проходит через середину отрезка, соединяющего эти точки, и перпендикулярна к этому отрезку. Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе. Прямая называется осью симметрии фигуры если каждая точка фигуры симметрична относительно некоторой точки той же фигуры.
зеркальная симметрия
Геометрическая фигура называется симметричной относительно плоскости S, если для каждой точки этой фигуры может быть найдена другая точка этой же фигуры, так что отрезок, соединяющий эти точки, перпендикулярен плоскости S и делится этой плоскостью пополам. Плоскость S называется плоскостью симметрии.
Симметричные фигуры, предметы и тела не равны друг другу в узком смысле слова (например, левая перчатка или ботинок не подходит для правой руки или ноги и наоборот). Они называются зеркально равными.
центральная симметрия
Две точки называются симметричными относительно центра симметрии О, если О — середина отрезка, соединяющего эти точки. Точка О считается симметричной самой себе.
Геометрическая фигура (или тело) называется симметричной относительно центра О, если для каждой точки этой фигуры может быть найдена другая точка этой же фигуры, так что отрезок, соединяющий эти точки, проходит через центр О и делится в этой точке пополам. Точка О называется центром симметрии.
поворотная симметрия (симметрия вращения)
При поворотной симметрии переход частей фигуры в новое положение или преобразование исходной фигуры происходит при повороте фигуры на определенный угол вокруг точки, которая называется центром поворота. Поворотная симметрия может рассматриваться на плоскости и в пространстве.
Тело (фигура) обладает симметрией вращения, если при повороте на угол 360°/n (n – целое число, например, 2, 3, 4 и т.д. до бесконечности) вокруг некоторой прямой (оси симметрии) оно полностью совпадает со своим начальным положением. При n = 2 мы имеем осевую симметрию.
симметрия подобия
Представляет собой своеобразный аналог предыдущих симметрий с той лишь разницей, что она связана с одновременным уменьшением или увеличением подобных частей фигуры и расстояний между ними. Простейшим примером такой симметрии являются матрешки.
переносная (трансляционная симметрия)
О такой симметрии говорят тогда, когда при переносе фигуры вдоль прямой на какое-то расстояние, либо расстояние, кратное этой величине, она совмещается сама с собой. Прямая, вдоль которой производится перенос, называется осью переноса.
примеры симметрии геометрических фигур
Разными видами симметрии могут обладать и плоские и объемные фигуры. Например, квадрат, прямоугольник, ромб имеют и центр симметрии и оси симметрии.
Окружность и круг имеют центр симметрии и бесконечно много осей симметрии. Объемные фигуры могут иметь центр симметрии, оси симметрии и обладать зеркальной симметрией.
Правильные многогранники своей симметрией с древних времён привлекали к себе внимание учёных, архитекторов, художников. Их по праву называют самыми симметричными из всех многогранников.
Подробно описал свойства правильных многогранников древнегреческий учёный Платон. Поэтому их называют телами Платона. Правильным многогранникам посвящена 13 книга “Начал” Евклида.
Очень симметричной фигурой является, например, куб. Центром симметрии куба является точка пересечения его диагоналей. Через центр симметрии проходят 9 осей симметрии. Плоскостей симметрии у куба также 9 и проходят они либо через противоположные ребра (6), либо через середины противоположных ребер (3).
Через центр симметрии проходят 9 осей симметрии. Плоскостей симметрии у куба также 9 и проходят они либо через противоположные ребра (6), либо через середины противоположных ребер (3).
Источник